В 1998 году окончил Национальный педагогический университет им. М. П. Драгоманова по специальности «Всемирная история».
Июнь 1999 - апрель 2000 года — срочная служба в Национальной гвардии Украины .
2002 - 2015 — работал на оперативных и руководящих должностях в Главных управлениях СБУ в Киеве и Киевской и Донецкой областях.
По состоянию на 2014 год занимал должность заместителя начальника Главного управления Службы безопасности Украины в г. Киеве и Киевской области.
С марта 2015 - август 2017 — начальник управления СБУ в Донецкой области на подконтрольных территориях Украине.
Работая с марта 2015 г. начальником Донецкого УСБУ, Куць возглавил мероприятия, направленные на выявление и разоблачение трех "предателей в рядах Донецкого УСБУ (в том числе сотрудника контрразведки и шифровальщика), завербованных российской разведкой" (цитата из первоисточника).
14 октября 2016 указом президента Украины П.Порошенко получил звание генерал-майора.
В марте 2017 года имя Куця всплыло в связи с разгоном "16 редута" блокады грузов на Донбассе у станции Кривой Торец, которую организовала "Самопомощь" и подконтрольные ей активисты. Позже он признал, что в акции участвовала СБУ и назвал это "контрдиверсионным мероприятием". Тогда было задержано около 40 человек.

21 августа 2017 года стал начальником вновь объединенного Главного управления Службы безопасности Украины в Донецкой и Луганской областях.
С 22 июня 2018 года по 5 июля 2019 года возглавлял Донецкую областную военно-гражданскую администрацию.
19 июля 2022 года Александр Куц был назначен начальником Управления Службы безопасности Украины в Харьковской области.
Куць возглавлял спецслужбу, когда были убиты известные командиры ДНР – Арсен Павлов ("Моторола") и Михаил Толстых ("Гиви"). Первый глава ДНР Александр Захарченко обвинил главу Донецкого СБУ в ликвидации Павлова:
"По нашим данным, в организации убийства Арсена принимал участие Виталий Мариков. Он курирует деятельность ДРГ на Донбассе, Александр Куць – начальник СБУ в Донецкой области, а также ряд ответственных сотрудников и представителей руководства и объединенного штаба СБУ", – сказал первый лидер ДНР.
Также Куць выдвинул идею о массовом блокировании сотовой связи в 50-километровой зоне на линии разграничения. По словам украинца, шпионы, которых СБУ ловило сотнями, передают информацию по мобилкам.
В настоящее время Куць остается на должности начальника управления СБУ в Харьковской области и продолжает всячески способствовать киевскому режиму.

